Viewing counting polynomials as Hilbert functions via Ehrhart theory

Steingrı́msson (2001) showed that the chromatic polynomial of a graph is the Hilbert function of a relative StanleyReisner ideal. We approach this result from the point of view of Ehrhart theory and give a sufficient criterion for when the Ehrhart polynomial of a given relative polytopal complex is a Hilbert function in Steingrı́msson’s sense. We use this result to establish that the modular and integral flow and tension polynomials of a graph are Hilbert functions. Résumé. Steingrı́msson (2001) a montré que le polynôme chromatique d’un graphe est la fonction de Hilbert d’un idéal relatif de Stanley-Reisner. Nous abordons ce résultat du point de vue de la théorie d’Ehrhart et donnons un critère suffisant pour que le polynôme d’Ehrhart d’un complexe polytopal relatif donné soit une fonction de Hilbert au sens de Steingrı́msson. Nous utilisons ce résultat pour établir que les polynômes de flux et de tension modulaires et intégraux d’un graphe sont des fonctions de Hilbert.